Analisi Dimensionale


Uno degli strumenti più importanti per lo studio delle Scienze è indubbiamente l’uso di formule ed equazioni, per poterle usare nella maniera giusta è utile sapere qualcosa circa l’analisi dimensionale.

Per gli esercizi: Esercizi analisi dimensionale (spiegati)Esercizi analisi dimensionale


I SIMBOLI DELLE GRANDEZZE

Nell’articolo sulle grandezze fisiche, in particolare il paragrafo “grandezze fondamentali“, abbiamo visto che alle grandezze fondamentali oltre a un nome e un’unità di misura vengono attribuiti anche una serie di simboli che chiamavamo simboli della grandezza.

Schema utile per l'analisi dimensionale
Schema utile per l’analisi dimensionale

Chiediamoci ora a cosa servono questi simboli e perchè solo le grandezze fondamentali li possiedono.

Sempre nell’articolo sulle grandezze fisiche abbiamo detto che a partire dalle Grandezze Fondamentali è possibile costruire tutte le altre grandezze che chiamiamo Grandezza Derivate.

Per esempio possiamo riscrivere una grandezza derivata in funzione dei simboli delle grandezze che la compongono. Prendiamo per esempio il caso della Forza.

La grandezza derivata che chiamiamo Forza sappiamo che ha come unità di misura il Newton (N). La forza è definita come una massa che subisce un’accelerazione. Possiamo quindi scrivere che:

F = m · a

Passando alle unità di misura si ha che :

formula per determinale la forza

Abbiamo quindi scomposto l’unità di misura derivata nelle sue grandezze fondamentali. Ora è possibile riscrivere le unità di misura fondamentali usando i simboli delle grandezze.

Per la grandezza Forza si ha che:

F = [M] [L] [T]-2

Abbiamo così trovato le dimensione fisiche della grandezza Forza.

Si dice quindi che le dimensione della forza sono: la massa, la lunghezza e il tempo elevato alla -2.

Ogni grandezza può essere scritta usando questo tipo di scrittura. Il perchè è utile farlo lo vedremo tra pochissimo.

RELAZIONE GENERALE

Possiamo generalizzare il discorso a tutte le grandezze derivate e dire che ogni grandezza può venir scritta usando questo tipo di relazione.

[G] = [M]a [L]b [T]c [I]d [ϴ]e [J]f [N]g

Dove G è la grandezza che stiamo considerando, le lettere Maiuscole tra le [ ] sono i simboli delle grandezze fondamentali e le lettere agli esponenti indicano appunto a quale coefficiente bisogna elevate qualsiasi simbolo.

Ovviamente questa forma è generale, nella pratica non la si usa per esteso perchè alcuni simboli hanno un esponente pari a 0 e quindi vengono cancellate.

Facendo l’esempio con la Forza si ottiene che:

[F] = [M]1 [L]1 [T]-2 [I]0 [ϴ]0 [J]0 [N]0 = [M] [L] [T]-2

Questo modo di scrivere le grandezze derivate serve come formalismo. Nella pratica si scrivono direttamente le dimensione che affettivamente sono presenti nella grandezza derivata senza passare dalla relazione generale.

PRINCIPIO DI OMONENEITÀ

É utile applicare l’analisi dimensionale ai problemi scientifici che stiamo trattando, e in particolare alle equazioni che usiamo, perchè ci permette di capire se la direzione che stiamo prendendo è esatta oppure stiamo scrivendo cose senza senso. Per evitare di commettere errori grossolani nella scrittura di una formula, che sia essa nuova oppure già conosciuta, è utile seguire le seguenti 2 regole:

  1. Le grandezze fisiche possono essere sommate e sottratte sono se hanno la stessa dimensione.

Infatti non possiamo mai sommare per esempio una Massa ad una Lunghezza perchè sono grandezze diverse.

[M] + [L] = IMPOSSIBILE

  1. I membri di un eguaglianza devono avere le stesse dimensioni.

Ovviamente affinchè una equazione che prevede l’eguaglianza tra due oggetti sia vera devono essere uguali anche le grandezze.

[M]2 = [M] [M]

Le dimensioni sono le stesse da tutte e 2 le parti dell’uguale.

Questo ragionamento può essere esteso anche alle unità di misura. Per esempio se bisogna sommare queste 2 grandezze:

L = 3 m + 4 cm

Non posso farlo perchè L o avrà come unità di misura (m) oppure (cm), non può averle entrambe allo stesso tempo. Per risolvere il problema devo fare l’equivalenza e convertire per esempio i (cm) in (m).

Il punto 2 prende il nome di Principio di Omogeneità.

CONSIDERAZIONE PRATICHE

Grazie a questi tipi di analisi si posso fare una serie di correzione alle nuove formule che si scrivono, per esempio osservare se c’è bisogno di aggiungere una costante così da far tornare i conti tra i 2 membri dell’equazione. Prendiamo per esempio il caso dell’equazione che descrive la forza di ritorno di una molla (Legge di Hook).

F = k · x

Siccome la F è espressa in N e x rappresenta una lunghezza, espressa in m, è obbligatorio aggiungere una costante che abbia come unità di misura (N\m) così da ottenere le stesse unità di misura tra i 2 membri.

Otteniamo N da tutte e 2 le parti

Oppure l’analisi dimensionale può essere usata per fare delle stime su una quantità non nota.

É rimasto nella Storia il caso di Geoffrey Taylor, fisico che tramite l’utilizzo avanzato dell’analisi dimensionale riuscì a stimare l’energia prodotta dalla prima bomba nucleare. Per determinare l’energia in gioco Taylor si servi dei fotogrammi che vennero resi noti negli anni successivi all’esplosione. Con approssimazioni varie e con l’uso appunto dell’analisi dimensionale arrivò a pubblicare un articolo dove si stima la quantità di energia prodotta. Il calcolo fu così accurato che Taylor fu sospettato di possedere documenti riservati.

Per chi è curioso può dare una occhiata all’articolo.

Un primo utilizzo dell’analisi dimensionale lo si può trovare tra gli scritti di J.C. Maxwell alla fine del 1800. Da lì in poi il concetto è stato enormemente ampliato.

In questo articolo ho voluto trattare le basi dell’analisi dimensionale per permettere a tutti di capire un po’ meglio la metrologia. Penso che per un comune studente di qualsiasi materia scientifica non serva approfondire di più. Una trattazione più approfondita è sicuramente utile a tutte quelle persone che si interessano di ingegneria.