Andiamo ora ad applicare la teoria vista nell’articolo dedicato all’analisi dimensionale. Come sempre suggerisco di svolgere gli esercizi da soli e poi confrontare il risultato.
1
Determinare quali sono le dimensione della densità (ρ).
La densità, una grandezza derivata, è definita come la massa contenuta in un dato volume. Applicando la definizione risulta:
ρ = massa \ volume
Il volume a sua volta è una grandezza derivata. Il volume si ottiene elevando alla terza una lunghezza. Per esempio il volume in m3 risulta essere:
Volume = m3 = m · m · m
Passando ora a utilizzare i simboli delle grandezze si ottiene che la densità ha le seguente grandezze:
ρ = [M] · [L]-3
La densità ha le dimensione di una massa e di una lunghezza elevato a -3.
2
Spiegare perchè il prodotto tra una massa e una lunghezza non è uguale a un’accelerazione.
In sostanza il problema ci chiede di verificare che la seguente relazione sia effettivamente giusta.
Kg · m ≠ a
Non ci resta che verificare che le dimensione della grandezza a sinistra siano diverse dalle dimensione delle grandezze a destra.
- Sinistra: il testo ci dice che abbiamo il prodotto tra una massa e una lunghezza, non ci resta che sostituire i nomi con i simboli, si ottiene: [M] · [L]
- Destra: L’accelerazione è definita come lo spazio percorso in un intervallo di tempo elevato al quadrato. Possiamo quindi dire che l’accelerazione dipende da una lunghezza e da un tempo.
- Scriviamo quindi che: (a) = [L] · [T]-2
Se ora eguagliamo le dimensioni ottenute ci accorgiamo che non coincidono.
3
Determinare le dimensione di X nella seguente formula:
dove (l) è un lunghezza e (g) è l’accelerazione gravitazionale.
Per il principio di omogeneità la grandezza X deve avere le stesse dimensioni della parte a destra dell’uguale. Cerchiamo di capire quindi quali sono le grandezze a destra.
- 2: essendo un numero non ha nessuna grandezza
- π: anche esso è un numero e non porta nessuna grandezza
- l: questa è una lunghezza e il simbolo associato è [L]
- g: è a tutti gli effetti una accelerazione, viene definita come lo spazio percorso in un intervallo di tempo elevato al quadrato, cioé g = m\s2
- Le grandezze risultano essere: g = [L] · [T]-2
Combinando ora le grandezze si ottiene:
La grandezza [T]-2 essendo frazione di una frazione diventa numeratore. Il risultato finale è quindi che la dimensione di X è un tempo.
X = [T]
4
Dimostrare che la seguente formula abbia effettivamente le dimensione di una lunghezza.
Dove (X0) è una lunghezza, (v0) una velocità, (a) un’accelerazione e (t) un tempo.
Se X ha le dimensione di una lunghezza allora affinchè tutta l’equazione sia giusta è necessario che i vari termini da sommare abbiamo le dimensione di una lunghezza.
- X0 è una lunghezza quindi avrà come dimensione [L]
- v0 · t è una velocità moltiplicata per un tempo. La velocità è definita come lo spazio percorso per unità di tempo, cioè v = m\s. Passando ai simboli si ottiene che v = [L] · [T]-1
- Il secondo termine si riduce quindi a [L] ·
[T]-1·[T]
- Il secondo termine si riduce quindi a [L] ·
- a · t2 \ 2 questo termine contiene un’accelerazione e un tempo divisi entrambi per una costante, cioè 2, che però non ha dimensione. L’accelerazione è definita come lo spazio percorso in un intervallo di tempo elevato al quadrato, cioè a = m\s2. Passando alle dimensione di ottiene che a = [L] · [T]-2
- Il terzo termini si riduce quindi a [L] ·
[T]-2·[T]2
- Il terzo termini si riduce quindi a [L] ·
In tutti i termini otteniamo come dimensione una lunghezza ed è quindi lecito poter sommare tra di loro questi vari termini.
5
Determinare le dimensione della costante dei gas (R) sfruttando l’equazione dei gas perfetti.
L’equazione dei gas perfetti è:
Come prima cosa ci conviene isolare R.
Il principio di omogeneità ci dice che R deve avere le stesse dimensioni della parte a destra dell’eguaglianza. Noi siamo in grado di determinare le dimensioni dei vari fattori, facciamolo:
– Pressione: è definita come la forza esercitata su una superficie.
Il Newton (N) a sua volta è definito come una massa che subisce un’accelerazione.
L’accelerazione a sua volta è definita come la distanza percorsa in un tempo elevato al quadrato.
Ora che abbiamo scomposto la pressione delle sue componenti fondamenti possiamo ricomporre tutto e scrivere:
Se passiamo a usare i simboli delle grandezze si ottiene:
P = [M] · [L] · [T]-2 · [L]-2 = [M] · [T]-2 · [L]-1
Ovviamente abbiamo potuto semplificare i simboli uguali secondo le usuali operazioni matematiche.
Temperatura: siccome la temperatura compare così com’è, sostituiamo T direttamente con [ϴ]
Moli : anche in questo caso possiamo direttamente sostituire n con [N]
Volume: il volume abbiamo visto nell’esercizio 1 che ha le dimensioni di una lunghezze elevato alla terza.
V = [L]3
Ora che abbiamo tutto non ci resta che mettere insieme i simboli delle varie grandezze e vedere cosa si ottiene:
Semplificando le unità simili si ottiene che:
Le dimensioni della costante dei gas risulta quindi essere quelle espresse dall’eguaglianza appena trovata. Si può notare che combinando le 3 grandezze al Numeratore si ottiene un’energia. Ecco perchè l’unità di misura di R secondo il S.I. è:
6
Si verifichi che il prodotto tra un Volume e una Pressione abbia le stesse dimensioni dell’Energia.
Il testo ci chiede di dimostrare che la seguente eguaglianza sia vera:
L’energia è definita come lo spostamento compiuto da una forza:
Il Newton a sua volta lo si ottiene accelerando una massa.
Infine l’accelerazione è la distanza percorsa in un tempo elevato alla seconda.
Mettendo tutto insieme si ottiene che l’energia ha le seguenti unità di misura e simboli:
Verifichiamo se anche il prodotto tra P e V ha le stesse dimensioni dell’energia.
Per il volume abbiamo già visto quali sono le sue dimensioni nell’esercizio 1.
V = [L]3
La pressione è stata trattata nell’esercizio 5 e abbiamo ottenuto:
Moltiplicando le 2 grandezze si ottiene che:
Se confrontiamo ora i 2 risultati possiamo affermare che l’eguaglianza da verificare risulta essere corretta.
